PRECĪZAS IZTEIKŠANĀS VALODA

PRECĪZAS IZTEIKŠANĀS VALODA

16. Augusts 2016

Svonsi universitātes (Lielbritānija) matemātikas profesors Zejevs Sobolis stāsta par matemātiku, bērniem un dažādiem vecumiem piemērotām mācību metodēm.

 

Pēdējā laikā Lielbritānijas skolās matemātikai tiek veltīta īpaša uzmanība. Ar ko, jūsuprāt, tas ir skaidrojams?

Ar to, ka matemātikā visas tēmas ir savstarpēji saistītas. Piemēram, nepārzinot logaritmus, nevar atrisināt salikto procentu uzdevumus, bez trigonometrijas nav iespējama ar navigāciju saistītu pamatuzdevumu atrisināšana utt. Tāpēc, ja cilvēks regulāri saņem labas atzīmes matemātikā, var apgalvot, ka viņš prot daudz, smagi un rūpīgi strādāt, spēj koncentrēties un ir radis darboties ar skaitļiem. Tās patiešām ir vērtīgas prasmes, taču, taisnību sakot, šī ir matemātikas primitīvākā puse. Daudz vērtīgāka un interesantāka, lai arī daudz sarežģītāka, ir matemātiskā analīze: prasme izanalizēt sarežģītu problēmu, sadalot to vienkāršākās sastāvdaļās, un atrisināt to visoptimālākajā veidā. Turklāt problēmai nav obligāti jābūt saistītai ar skaitļiem. Vēl interesantāka ir lietišķā matemātika jeb matemātiskā modelēšana. Tās tēma ir dažādi matemātiskie objekti ar savu struktūru un matemātisko operāciju izpildes noteikumiem. Tā ir atrodama visdažādākajos apkārtējās pasaules parādību modeļos, piemēram, “5” ir gan piecas monētas, gan piecas planētas. Tieši tāpat arī vienādojumi, kas ir  dažādi dabas likumi, kas tradicionāli tiek formulēti balansa veidā. Visi fundamentālie matemātikas uzdevumi ir saistīti ar kādu darbību vai parādību paredzēšanu vai plānošanu.

 

Bet ja nu cilvēks ir izteikti humanitāri ievirzīts un negrasās būt matemātiķis? 

Tādu nav! Ir cilvēki, kuriem nav piemērotas standarta matemātikas mācīšanas metodes. Tas ir tāpat kā ar svešvalodām: eksistē ļoti daudzas svešvalodu mācīšanās metodes, kuras ļoti labi der vieniem un pilnīgi neder citiem. Un šis salīdzinājums ar svešvalodām nav nejaušs – arī matemātika ir valoda. Precīzo izteikumu valoda. Ne velti cilvēkiem ar matemātisko domāšanu ir vieglāk apgūt svešvalodas: labi noasinātam prātam ir vieglāk uztvert un atcerēties valodas struktūru, savukārt labi attīstīta atmiņa palīdz iegaumēt lielāku vārdu un frazeoloģisko izteicienu skaitu. Turklāt matemātiskā domāšana noder arī tekstu izpratnē un analīzē. Jo īpaši tad, ja tie ir juridiskie teksti. Matemātika nāk talkā arī māksliniekiem, dāvājot tiem lielu skaitu neparastu tēlu, kuri atrodas savstarpēji harmoniskās asociācijās. Mēdz teikt: “matemātiķim tas sanāks labāk”. Pateicoties labajai atmiņai, jaudīgajai un racionālajai domāšanai, novērošanas un vispārināšanas prasmēm, precizitātei, rūpībai, uzcītībai un koncentrēšanās spējām, viņš paveiks labāk visu, pie kā vien ķersies klāt. Protams, ja vispār ķersies.

 

Vai jūs varētu sīkāk pastāstīt par dažādām matemātikas mācīšanas metodēm, jo īpaši bērniem? Ko vispār matemātika bērnam spēj sniegt?

Ir tāds robežvecums – 11 gadi. Tas ir laiks, kad bērns ieiet pubertātes posmā un viņam sāk attīstīties abstraktā domāšana. Matemātika pirms un matemātika pēc 11 gadu vecuma ir tikpat dažādas kā cilvēki abpus šai vecuma robežai. Līdz 11 gadu vecumam ir jēga mācīt matemātikas tehnikas, uzdevuma pamatojumam, nepievēršot īpašu uzmanību. Vienkāršā valodā runājot, labāk lai matemātika būtu spēle. Tādā formā tā bērnam būs noderīga, jo palīdzēs attīstīt tā saucamās matemātiskās spējas. Proti, prasme labā ātrumā darboties ar pietiekami sarežģītiem objektiem uzlabos viņa analītiskās spējas, jo īpaši tad, ja analīzei jeb prasmei sadalīt sarežģītus priekšmetus vienkāršākos, tiks pievērsta īpaša uzmanība. Analītiskā ģeometrija ļoti lielā mērā veicinās viņa telpiskās iztēles attīstību, sevišķi tad, ja jūs darīsiet tāpat kā mēs – mācīsiet bērnam darboties ar Dekarta koordinātēm jau no 4-5 gadu vecuma. Tas ir ļoti vienkārši, jo bērns jau nezina, ka tas ir sarežģīti. Un, ja jūs iedosiet viņam rūtiņu lapu, parādīsiet, kā šīs rūtiņas sanumurēt, kur ir atskaites punkts un kur nobīde, viņš pārvietos savas figūriņas pa šo karti, pierakstot to atrašanās koordinātes un nobīdi vektora formā, kaut gan iespējams, vārds ”vektors” viņam tajā brīdī vēl neko neizteiks. Kā tas viņam palīdz? Šādā veidā bērns mācās pārveidot bildi skaitļu kopā un skaitļu kopu atpakaļ bildē. Rezultātā ļoti labi attīstās asociatīvā domāšana.

Ir ļoti labi, ja pie reizrēķina tabulas apgūšanas bērns nonāk, mācoties aprēķināt laukumu. Figūras laukums ir viens reiz viens kvadrātiņu skaits, kurus šajā laukumā var satilpināt. Pats par sevi saprotams, ka šos kvadrātiņus var sadalīt jebkādās citās daļās, un šīs daļas izvietot pēc vajadzības. Tieši tāpat kā jebkura darbošanās ar pildspalvu, plastilīnu, otiņu vai zīmuli attīsta bērna sīko motoriku, figūru sadalīšana un kombinēšana attīsta viņa analītisko domāšanu. Skatoties uz bildi, viņš nekavējoties sadala to vienkāršākos elementos, un apsver, kā tie būtu sakombinējami kāda konkrēta uzdevuma atrisināšanai. Protams, bērns vēl īsti neapzinās savas rīcības būtību, bet arī staigāt viņš mācās, neko nezinot par mehānikas likumiem.

Reizrēķina tabula šādā kontekstā parādīsies pilnīgi dabiskā veidā: apvelciet kopā ar bērnu rūtiņas (3×5) un piedāvājiet viņam sarēķināt kopējo rūtiņu skaitu izveidotajā taisnstūrī. Vairākas reizes bērns skaitīs pa vienai rūtiņai, līdz sapratīs, ka ērtāk ir skaitīt pa trijām vai piecām. Visvienkāršākās reizrēķina tabulas operē ar divi, pieci un desmit, ar tām tad arī vajadzētu sākt.

Kaut gan, protams, ir arī tādas tēmas, kuras sagādā grūtības jebkurā valstī, lai kādu pieeju jūs arī izmantotu. Piemēram, daļskaitļi. Šo tēmu var apskatīt divējādi. Parasti daļskaitļus sāk mācīt vidusskolas posmā (11.+), pamatojot šādu praksi ar to, ka tikai šajā vecumā cilvēks sasniedz nepieciešamo abstraktās domāšanas attīstības pakāpi. Taču šeit mums “uzglūn” cita problēma – pārējas vecumā pusaudžus sarežģīti aprēķini īpaši neinteresē. Pubertātes vecumā cilvēkam ir svarīgi citi eksistenciāli jautājumi: karot un mīlēt (kā to formulēja Marks Tvens). Lai pārvirzītu viņa uzmanību uz daļskaitļiem, ir nepieciešams ļoti labs to nepieciešamības un interesantuma pamatojums. Tādēļ mēs izdarījām savādāk. Pirmkārt, noformulējam visus daļskaitļu darbību principus vienkāršākā formā, tā, lai arī pamatskolas audzēknis varētu tos apgūt. Otrkārt, to iemācīšanai mēs izmantojam dinamisku, uz konkurenci balstītu spēli, kurā azarts sit pušu sarežģīto matemātisko tehniku. Treškārt, intuitīvā līmenī mēs tomēr demonstrējam šos noteikumus daļskaitļos ar vienādiem saucējiem, risinot vienādojumus u.tml. Ceturtkārt, ļoti palīdz tādi teksta uzdevumi, kuros, dzīvojot līdzi varoņiem, skolēns izjūt papildu stimulu tikt galā ar jauno uzdevuma veidu. Tādēļ, iestājoties pubertātes vecumam, skolēns jau pārzina motivācijas uzdevumu kopu, konkrēto rēķināšanas tehniku, un viņa rīcībā pat ir tāds kā empīrisks šīs tehnikas pamatojums. Atliek vienīgi izcelt apziņas līmenī, ko tieši un kādam nolūkam viņš dara. Kaut gan arī tas nav nekāds vieglais uzdevums.

 

Vai jūs varētu pastāstīt sīkāk, kā tad īsti mācīt matemātiku pubertātes vecumā?

Pirmkārt, skolēniem ir jāiemāca racionāli un matemātiski pierādīt apgalvojumus. Cilvēks patiešām nesaprot, kādēļ vispār kaut kas ir jāpierāda, ja jebkurš apgalvojums jau ir pierādīts ar dažādu piemēru starpniecību. Bet ja jūs, piemēram, pastāstīsiet, kā diskutēja senie grieķi, kādas sacensības viņi rīkoja pilsētu laukumos ar devīzi ” es tev pierādīšu, ka zeme ir apaļa, bet tu man – nē, jo tev ir švaki ar loģiku!”, un pēc tam piedāvāsiet līdzīgu spēli, viņi spēlēs, jo ikvienam pusaudzim ir ļoti svarīgi pašapliecināties. Lietderīgi būtu iepazīstināt savus audzēkņus ar labi formulētiem sofismiem – vienkāršiem, acīmredzami kļūdainu apgalvojumu pierādījumiem, kuros ir nomaskēta kļūda, un mācīt viņus šo kļūdu atrast. Izcili ir arī paradoksi – patiesi spriedumi, kuri maldīgu pieļāvumu dēļ noved pie pretrunām. Skolēniem tie ļoti patīk, jo tādā veidā dzelžainā matemātikas loģika kļūst tāda kā nedaudz ievainojama, līdz ar to arī cilvēcīgāka.

Tomēr no problēmām šeit izvairīties nevarēs galvenokārt tāpēc, ka skolas programmā ir iekļautas jaunas rēķināšanas tehnikas, kuru lietderību skolēnam vēl ir jāpierāda. Un ja logaritmus vēl var kaut kā attaisnot ar saliktā procenta un nepārtrauktā uzrēķina palīdzību (skolēni ar sapratni izturas pret finanšu modeļiem), tad ar trigonometriju, diferenciāļiem un integrāļu aprēķināšanu viss ir daudz sarežģītāk, jo šeit motivācija ir meklējama navigācijas un kuģubūves jomā, tādēļ ir daudz grūtāk sniegt pārliecinošus skaidrojumus.

 

Jūs minējāt, ka spēle ir laba mācību metode. Ir pieejami daudzi un dažādi raksti par šaha pozitīvo ietekmi uz matemātiskajām spējām. Kāds ir jūsu viedoklis šajā jautājumā?

Šahs drīzāk ir saistīts ar kombinatoriku. Šajā spēlē tiek daudz analizēts, bet maz būvēts, tiek formulēti vien nedaudzi jauni jēdzieni. Kombinatorika ir diezgan būtiska matemātikas sastāvdaļa, taču vismaz puse no matemātikas tiek veltīta jaunu jēdzienu formulēšanai. Un kāpēc gan mums 21. gadsimtā vispār ir jāaprobežojas ar šahu? Ir izstrādāts milzīgs datorspēļu skaits, kuras pēc savas būtības it nemaz nav sliktākas par šahu. Gandrīz visas vērā ņemamās, stratēģiskās spēļmantiņas apvieno sevī abus iepriekš minētos principus. Mans vienīgais iebildums ir vērsts pret to primitīvismu un pārspīlēto tehniskumu. Galarezultātā šī spēles sanāk nevis sarežģītas, bet vienkārši garas, un tas ir garlaicīgi. Ķīniešu šaha spēle Go, krievu dambrete un pat nardi no kombinatorikas viedokļa ir labas spēles. Ļoti pareizi ir ienest matemātikā spēles azartu. Sadaliet klasi komandās. Lai viņi piedāvā viens otram uzdevumus un izvērtē to risināšanas paņēmienus. Pasniedziet skolēniem par pareizām atbildēm neparastas balvas, piemēram, ļaujiet viņiem pamainīt vai papildināt savas, jūsu stundās iemantotās, matemātiskās iesaukas. Reizi pa reizei atsakieties no klusiem pārbaudes darbiem un sarīkojiet kādu skaļu viktorīnu vai stafeti. Matemātikai ir jābūt ne vien sarežģītai, bet arī jautrai.

 

Un pēdējais jautājums. Ir skaidrs, ka visbiežāk mēs runājam par situāciju, kad bērnam nav laimējies piedzimt matemātiķu ģimenē. Kā var palīdzēt vecāki?

Ja ir tādā iespēja, spēlējiet ar savu bērnu matemātikas spēles, risiniet uzdevumus, dalieties ar viņu savā interesē par šo priekšmetu, ja jums tāda ir radusies. Izveidojiet ap viņu tādu kā matemātisku vidi.

 

Varbūt labāk pameklēt kādu pulciņu?

Ir tāds labi zināms princips: nevari izdarīt pats, meklē speciālistu. Taču atcerieties, ka līdz 11 gadu vecumam vecāku rādītajam piemēram ir papildu vērtība.